In geologia strutturale, l’analisi delle deformazioni osservate nelle rocce, sul terreno o al microscopio (strain analysis) consente di fare alcune assunzioni su quali siano stati gli sforzi che hanno provocato tali deformazioni (stress analysis).

Nell’analisi dello stress è conveniente descrivere gli sforzi all’interno di un sistema di coordinate. In 2 dimensioni, uno sforzo σ ha componenti parallele agli assi x ed y, ossia σ_x e σ_y. Il relativo sforzo di taglio avrà una componente τ_xy (legata a σ_x e parallela all’asse y) ed una componente τ_yx (legata a σ_y e parallela all’asse x). Queste sono le 4 componenti dello stress piano (caso particolare in cui nessuno sforzo agisce perpendicolarmente al piano xy, cioè in direzione z).

Lo stress su di un piano orientato di un angolo θ rispetto all’asse y è rappresentato come nella figura in alto. Esiste un valore dell’angolo θ per cui si avrà il massimo valore di σ.

Nell’arco di 360° esistono 2 direzioni tra loro perpendicolari per cui si avranno un valore massimo ed uno minimo dello sforzo di taglio; gli sforzi perpendicolari a queste superfici sono detti stress principali σ₁ e σ₂. In queste due direzioni gli sforzi di taglio sono nulli.

Negli stati di stress tridimensionali, lo sforzo omogeneo può sempre essere analizzato in termini di 3 stress principali tra loro perpendicolari σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃, detti rispettivamente sforzo principale maggiore, intermedio e minore.

Il calcolo dello stress su una superficie la cui normale sia ad un angolo θ dallo stress principale maggiore σ₁ può essere eseguito in un diagramma in cui σ sia l’asse x e τ l’asse y. Tutte le coppie di valori σ e τ che si hanno sui diversi piani al variare dell’angolo θ da 0 a 360° sono punti di una circonferenza detta Cerchio di Mohr.

 

Il cerchio interseca l’asse delle x ai valori σ₁ e σ₃; il suo raggio è (σ₁ – σ₃)/2; il suo centro è in (σ₁ + σ₃)/2 e corrisponde al valore di σ₂.

I valori massimi e minimi di sforzo di taglio si trovano sempre su due piani allo stesso angolo (θ ± 45°) con l’asse di stress principale.

Alti valori dello sforzo di taglio sono legati a differenze di stress, non ai valori assoluti dello stress principale. In 3 dimensioni ciò accade su due superfici coniugate che si intersecano lungo l’asse di stress intermedio σ₂ ad angoli di ± 45° con σ₁ e σ₃.

In situazioni diverse dallo stress piano, abbiamo componenti dello sforzo nella direzione dell’asse z. In totale si hanno 9 componenti del tensore degli sforzi, 3 delle quali sono normali ai piani cartesiani: σ_xx, σ_yy e σ_zz; Sui piano con sforzo di taglio pari a zero (τ = 0) essi diventano i piani di sforzo principali σ₁, σ₂ e σ₃.

Sia lo sforzo che la deformazione sono “tensori di secondo ordine”. Uno scalare è un tensore di ordine zero (un solo valore, niente proprietà direzionali); un vettore è un tensore di primo ordine (grandezza e direzione). I tensori di secondo ordine definiscono le interazioni tra vettori ed operatori direzionali.

Esistono 3 piani perpendicolari tra loro su cui non agisce alcuno sforzo di taglio. Questo accade anche per la deformazione dove si parlerà di assi di deformazione principale.